R เฉลี่ยเคลื่อนที่ ทำนาย

การย้ายการคาดการณ์เชิงปริมาณเฉลี่ย ตามที่คุณอาจคาดเดาเรากำลังมองหาวิธีการดั้งเดิมบางอย่างที่คาดการณ์ไว้ แต่หวังว่าสิ่งเหล่านี้เป็นการนำเสนอที่คุ้มค่าสำหรับปัญหาด้านคอมพิวเตอร์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับการใช้การคาดการณ์ในสเปรดชีต ในหลอดเลือดดำนี้เราจะดำเนินการต่อโดยการเริ่มต้นตั้งแต่เริ่มต้นและเริ่มทำงานกับการคาดการณ์ Moving Average การย้ายการคาดการณ์เฉลี่ย ทุกคนคุ้นเคยกับการคาดการณ์ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่โดยไม่คำนึงถึงว่าพวกเขาเชื่อหรือไม่ว่า นักศึกษาทุกคนทำแบบฝึกหัดตลอดเวลา ลองนึกถึงคะแนนการทดสอบของคุณในหลักสูตรที่คุณจะมีการทดสอบสี่ครั้งระหว่างภาคการศึกษา ให้สมมติว่าคุณมี 85 คนในการทดสอบครั้งแรกของคุณ คุณคาดหวังอะไรสำหรับคะแนนการทดสอบที่สองของคุณคุณคิดอย่างไรว่าครูของคุณจะคาดการณ์คะแนนทดสอบต่อไปคุณคิดอย่างไรว่าเพื่อนของคุณอาจคาดเดาคะแนนการทดสอบครั้งต่อไปคุณคิดว่าพ่อแม่ของคุณคาดการณ์คะแนนการทดสอบต่อไปได้ไม่ว่า การทำร้ายทั้งหมดที่คุณอาจทำกับเพื่อนและผู้ปกครองของคุณพวกเขาและครูของคุณมีแนวโน้มที่จะคาดหวังว่าคุณจะได้รับบางสิ่งบางอย่างในพื้นที่ของ 85 ที่คุณเพิ่งได้ ดีตอนนี้ให้สมมติว่าแม้จะมีการโปรโมตด้วยตัวคุณเองกับเพื่อน ๆ ของคุณคุณสามารถประเมินตัวเองและคิดว่าคุณสามารถเรียนได้น้อยกว่าสำหรับการทดสอบที่สองและเพื่อให้คุณได้รับ 73. ตอนนี้สิ่งที่ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องและไม่แยแสไป คาดว่าคุณจะได้รับการทดสอบครั้งที่สามมีสองแนวทางที่น่าจะเป็นไปได้สำหรับพวกเขาในการพัฒนาประมาณการโดยไม่คำนึงว่าพวกเขาจะแบ่งปันกับคุณหรือไม่ พวกเขาอาจพูดกับตัวเองว่าผู้ชายคนนี้มักจะเป่าควันเกี่ยวกับความฉลาดของเขา เขาจะได้รับอีก 73 ถ้าเขาโชคดี บางทีพ่อแม่จะพยายามสนับสนุนและพูด quotWell เพื่อให้ห่างไกลได้รับ 85 และ 73 ดังนั้นคุณควรคิดเกี่ยวกับการเกี่ยวกับ (85 73) 2 79 ฉันไม่รู้ว่าบางทีถ้าคุณไม่ปาร์ตี้ และเหวี่ยงพังพอนไปทั่วสถานที่และถ้าคุณเริ่มต้นทำมากขึ้นการศึกษาที่คุณจะได้รับคะแนนสูงขึ้นทั้งสองประมาณการเหล่านี้เป็นจริงการคาดการณ์เฉลี่ยย้าย อันดับแรกใช้คะแนนล่าสุดของคุณเพื่อคาดการณ์ประสิทธิภาพในอนาคตของคุณเท่านั้น นี่เรียกว่าการคาดการณ์ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่โดยใช้ข้อมูลระยะเวลาหนึ่ง ข้อที่สองเป็นค่าพยากรณ์เฉลี่ยเคลื่อนที่ แต่ใช้ข้อมูลสองช่วง ให้สมมติว่าคนเหล่านี้ทั้งหมด busting ในจิตใจที่ดีของคุณมีการแบ่งประเภทของคุณออกและคุณตัดสินใจที่จะทำดีในการทดสอบที่สามด้วยเหตุผลของคุณเองและจะนำคะแนนที่สูงขึ้นในด้านหน้าของ quotalliesquot ของคุณ คุณใช้การทดสอบและคะแนนของคุณเป็นจริง 89 ทุกคนรวมทั้งตัวคุณเองเป็นที่ประทับใจ ดังนั้นตอนนี้คุณมีการทดสอบครั้งสุดท้ายของภาคการศึกษาที่กำลังจะมาถึงและตามปกติแล้วคุณรู้สึกว่าจำเป็นที่จะต้องกระตุ้นให้ทุกคนคาดการณ์เกี่ยวกับวิธีที่คุณจะทำในการทดสอบครั้งล่าสุด ดีหวังว่าคุณจะเห็นรูปแบบ ตอนนี้หวังว่าคุณจะเห็นรูปแบบนี้ คุณเชื่อว่าเป็นนกหวีดที่ถูกต้องที่สุดในขณะที่เราทำงาน ตอนนี้เรากลับไปที่ บริษัท ทำความสะอาดแห่งใหม่ของเราซึ่งเริ่มต้นโดยพี่สาวที่แยกกันอยู่ของคุณชื่อ Whistle While We Work คุณมีข้อมูลการขายในอดีตที่แสดงโดยส่วนต่อไปนี้จากสเปรดชีต ก่อนอื่นเราจะนำเสนอข้อมูลสำหรับการคาดการณ์ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ 3 ช่วง รายการสำหรับเซลล์ C6 ควรเป็นตอนนี้คุณสามารถคัดลอกสูตรเซลล์นี้ลงไปที่เซลล์อื่น ๆ C7 ถึง C11 แจ้งให้ทราบว่าค่าเฉลี่ยย้ายผ่านข้อมูลทางประวัติศาสตร์ล่าสุด แต่ใช้เวลาสามช่วงล่าสุดสำหรับการคาดการณ์แต่ละครั้ง นอกจากนี้คุณควรสังเกตด้วยว่าเราไม่จำเป็นต้องทำการคาดการณ์ในช่วงที่ผ่านมาเพื่อพัฒนาการคาดการณ์ล่าสุดของเรา นี้แน่นอนแตกต่างจากแบบจำลองการเรียบเรียงชี้แจง Ive รวมการคาดคะเนของคำพูดราคาตลาดเนื่องจากเราจะใช้คำเหล่านี้ในหน้าเว็บถัดไปเพื่อวัดความถูกต้องในการคาดการณ์ ตอนนี้ฉันต้องการนำเสนอผลที่คล้ายคลึงกันสำหรับการคาดการณ์ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ 2 ช่วง รายการสำหรับเซลล์ C5 ควรเป็นตอนนี้คุณสามารถคัดลอกสูตรเซลล์นี้ลงไปที่เซลล์อื่น ๆ C6 ถึง C11 แจ้งให้ทราบว่าขณะนี้มีเพียงข้อมูลล่าสุดสองชิ้นที่ใช้ล่าสุดในการคาดการณ์เท่านั้น อีกครั้งฉันได้รวมการคาดคะเน quotpost เพื่อวัตถุประสงค์ในการอธิบายและเพื่อใช้ในภายหลังในการตรวจสอบการคาดการณ์ บางสิ่งบางอย่างอื่นที่มีความสำคัญที่จะแจ้งให้ทราบล่วงหน้า สำหรับการคาดการณ์ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ m-period เฉพาะค่าข้อมูลล่าสุดของ m ที่ใช้ในการคาดคะเนเท่านั้น ไม่มีอะไรอื่นที่จำเป็น สำหรับการคาดการณ์ค่าเฉลี่ยของระยะเวลา m-period เมื่อทำนายการคาดการณ์ของ quotpast ให้สังเกตว่าการทำนายครั้งแรกเกิดขึ้นในช่วง m 1 ทั้งสองประเด็นนี้จะมีความสำคัญมากเมื่อเราพัฒนาโค้ดของเรา การพัฒนาฟังก์ชัน Average Moving Average ตอนนี้เราจำเป็นต้องพัฒนาโค้ดสำหรับการคาดการณ์ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่สามารถใช้ความยืดหยุ่นได้มากขึ้น รหัสดังต่อไปนี้ โปรดทราบว่าปัจจัยการผลิตเป็นจำนวนงวดที่คุณต้องการใช้ในการคาดการณ์และอาร์เรย์ของค่าทางประวัติศาสตร์ คุณสามารถเก็บไว้ในสมุดงานที่คุณต้องการ Function MovingAverage (Historical, NumberOfPeriods) ในฐานะ Single Declaring และ Initializing ตัวแปร Dim Item As Variant Dim Counter เป็นจำนวนเต็ม Integer Dim Single Dim HistoricalSize As Integer ตัวแปรที่ Initializing ตัวแปร Counter 1 สะสม 0 การกำหนดขนาดของอาร์เรย์ Historical HistoricalSize Historical. Count สำหรับ Counter 1 ถึง NumberOfPeriods สะสมจำนวนที่เหมาะสมของค่าที่สังเกตก่อนหน้านี้ล่าสุด Accumulation Accumulation Historical (HistoricalSize - NumberOfPeriods Counter) MovingAverage การสะสม NumberOfPeriods รหัสจะอธิบายในคลาส คุณต้องการวางตำแหน่งฟังก์ชันในสเปรดชีตเพื่อให้ผลลัพธ์ของการคำนวณปรากฏขึ้นที่ใดควรเป็นดังนี้ต่อไปนี้เพิ่มแนวโน้มหรือย้ายเส้นค่าเฉลี่ยไปเป็นแผนภูมินำไปใช้กับ: Excel 2016 Word 2016 PowerPoint 2016 Excel 2013 Word 2013 Outlook 2013 PowerPoint 2013 เพิ่มเติม น้อยกว่าเพื่อแสดงแนวโน้มข้อมูลหรือค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ในแผนภูมิที่คุณสร้างขึ้น คุณสามารถเพิ่มเส้นแนวโน้มได้ นอกจากนี้คุณยังสามารถขยายเส้นแนวโน้มเกินกว่าข้อมูลจริงของคุณเพื่อช่วยในการคาดการณ์ค่าในอนาคต ตัวอย่างเช่นเส้นแนวโน้มดังต่อไปนี้คาดการณ์ล่วงหน้า 2 ไตรมาสและแสดงให้เห็นชัดเจนว่ามีแนวโน้มสูงขึ้นซึ่งน่าจะเป็นไปได้สำหรับการขายในอนาคต คุณสามารถเพิ่มเส้นแนวโน้มลงในแผนภูมิ 2 มิติที่ไม่ได้ถูกจัดวางรวมทั้งพื้นที่แถบเส้นคอลัมน์สต็อกการกระจายและฟองอากาศ คุณไม่สามารถเพิ่มเส้นแนวโน้มลงในแผนภูมิแบบวง, 3 มิติ, เรดาร์, พาย, พื้นผิวหรือโดนัท เพิ่มเส้นแนวโน้มบนแผนภูมิของคุณคลิกชุดข้อมูลที่คุณต้องการเพิ่มเส้นแนวโน้มหรือค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ เส้นแนวโน้มจะเริ่มต้นที่จุดข้อมูลแรกของชุดข้อมูลที่คุณเลือก ทำเครื่องหมายที่ช่อง Trendline หากต้องการเลือกเส้นแนวโน้มประเภทอื่นให้คลิกลูกศรถัดจากเส้นแนวโน้ม แล้วคลิกเลขชี้กำลัง พยากรณ์เชิงเส้น หรือสองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ระยะเวลา สำหรับเส้นแนวโน้มเพิ่มเติมคลิกตัวเลือกเพิ่มเติม หากคุณเลือก More Options คลิกตัวเลือกที่คุณต้องการในบานหน้าต่าง 'รูปแบบเส้นขอบ' ภายใต้ตัวเลือกของ Trendline ถ้าคุณเลือกพหุนาม ป้อนพลังงานสูงสุดสำหรับตัวแปรอิสระในกล่องคำสั่งซื้อ หากเลือก Moving Average ป้อนจำนวนงวดที่จะใช้ในการคำนวณค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ในช่องงวด คำแนะนำ: เส้นแนวโน้มมีความถูกต้องที่สุดเมื่อค่า R-squared (ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1 แสดงให้เห็นว่าค่าประมาณสำหรับเส้นแนวโน้มใกล้เคียงกับข้อมูลที่แท้จริงของคุณมากแค่ไหน) อยู่ที่หรือใกล้เคียง 1. เมื่อคุณเพิ่มเส้นแนวโน้มลงในข้อมูลของคุณ , Excel จะคำนวณค่า R-squared โดยอัตโนมัติ คุณสามารถแสดงค่านี้ในแผนภูมิของคุณได้โดยการตรวจสอบค่า Display R-squared ในกล่องแผนภูมิ (แผงเส้นแนวโน้มรูปแบบตัวเลือก Trendline) คุณสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวเลือกเส้นแนวโน้มทั้งหมดในส่วนด้านล่าง เส้นแนวโน้มเชิงเส้นใช้เส้นแบบนี้เพื่อสร้างเส้นตรงที่ดีที่สุดสำหรับชุดข้อมูลเชิงเส้นอย่างง่าย ข้อมูลของคุณเป็นเส้นตรงถ้ารูปแบบในจุดข้อมูลมีลักษณะเป็นเส้น เส้นแนวโน้มจะแสดงให้เห็นว่ามีบางอย่างที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงในอัตราที่คงที่ เส้นตรงใช้สมการนี้ในการคำนวณสมการกำลังสองอย่างน้อยที่สุดสำหรับเส้น: โดย m คือความลาดชันและ b คือการสกัดกั้น เส้นแสดงแนวโน้มต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่ายอดขายตู้เย็นเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องตลอดระยะเวลา 8 ปี สังเกตว่าค่า R-squared (ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1 แสดงให้เห็นว่าค่าประมาณสำหรับเส้นแนวโน้มใกล้เคียงกับข้อมูลจริงของคุณมากน้อยแค่ไหน) เป็น 0.9792 ซึ่งเป็นเส้นที่เหมาะสมกับข้อมูล เส้นโค้งที่พอดีกับเส้นโค้งที่ดีที่สุดเส้นแนวโน้มนี้จะเป็นประโยชน์เมื่ออัตราการเปลี่ยนแปลงข้อมูลเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างรวดเร็วและลดระดับลง เส้นค่าลอการิทึมสามารถใช้ค่าลบและค่าบวกได้ เส้นรอบวงลอการิทึมใช้สมการนี้ในการคำนวณสมการสี่เหลี่ยมที่เล็กที่สุดผ่านจุด: c และ b เป็นค่าคงที่และ ln เป็นฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ เส้นค่าลอการิทึมต่อไปนี้แสดงการเติบโตของประชากรที่คาดการณ์ไว้ของสัตว์ในพื้นที่ว่างคงที่โดยที่ประชากรลดลงเป็นพื้นที่สำหรับสัตว์ลดลง โปรดทราบว่าค่า R-squared เท่ากับ 0.933 ซึ่งเป็นเส้นที่เหมาะสมกับข้อมูล เส้นแนวโน้มนี้มีประโยชน์เมื่อข้อมูลของคุณผันผวน ตัวอย่างเช่นเมื่อคุณวิเคราะห์ผลกำไรและขาดทุนจากชุดข้อมูลขนาดใหญ่ ลำดับของพหุนามสามารถกำหนดได้จากจำนวนความผันผวนของข้อมูลหรือจำนวนโค้ง (เนินเขาและหุบเขา) ปรากฏในเส้นโค้ง โดยปกติคำสั่ง Order 2 polynomial trendline มีเพียงเนินเขาหรือหุบเขาคำสั่ง Order 3 มีภูเขาหรือหุบเขาหนึ่งหรือสองแห่งและลำดับที่ 4 มีถึง 3 เนินหรือหุบเขา เส้นรอบวงหรือ curvilinear trendline ใช้สมการนี้ในการคำนวณสมการอย่างน้อยสี่เหลี่ยมผ่านจุด: ที่ b และเป็นค่าคงที่ พหุนามสองสายสั่งซื้อ (หนึ่งเนิน) แสดงความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วในการขับขี่และการสิ้นเปลืองน้ำมันเชื้อเพลิง สังเกตว่าค่า R-squared เท่ากับ 0.979 ซึ่งใกล้เคียงกับ 1 ดังนั้นเส้นจะพอดีกับข้อมูล แสดงเส้นโค้งเส้นแนวโน้มนี้มีประโยชน์สำหรับชุดข้อมูลที่เปรียบเทียบการวัดที่เพิ่มขึ้นในอัตราเฉพาะ ตัวอย่างเช่นการเร่งความเร็วของรถแข่งในช่วงเวลา 1 วินาที คุณไม่สามารถสร้างเส้นแนวโน้มกำลังได้ถ้าข้อมูลของคุณมีค่าเป็นศูนย์หรือค่าลบ เส้นกำลังกำลังใช้สมการนี้เพื่อคำนวณสมการกำลังสองอย่างน้อยที่สุดผ่านจุด: c และ b เป็นค่าคงที่ หมายเหตุ: ตัวเลือกนี้จะใช้ไม่ได้เมื่อข้อมูลของคุณมีค่าเป็นลบหรือเป็นศูนย์ แผนภูมิวัดระยะทางต่อไปนี้แสดงระยะทางเป็นหน่วยเป็นวินาที เส้นแรงที่แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว โปรดทราบว่าค่า R-squared เท่ากับ 0.986 ซึ่งเป็นเส้นที่สมบูรณ์แบบเกือบทั้งหมดของข้อมูล แสดงเส้นโค้งเส้นแนวโน้มนี้มีประโยชน์เมื่อค่าข้อมูลเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่องตามอัตราที่เพิ่มขึ้น คุณไม่สามารถสร้างเส้นแสดงแนวโน้มเป็นตัวเลขได้หากข้อมูลของคุณมีค่าเป็นศูนย์หรือค่าลบ เสนเสนยอยใชสมการนี้เพื่อคํานวณสมการสแควรอยางนอยที่สุดโดยที่จุด c และ b เปนคาคงที่และ e เปนฐานของลอการิทึมตามธรรมชาติ เส้นแสดงเส้นโครงร่างต่อไปนี้แสดงถึงปริมาณคาร์บอน 14 ที่ลดลงในวัตถุเมื่ออายุมากขึ้น โปรดทราบว่าค่า R-squared เท่ากับ 0.990 ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงกับข้อมูลเกือบสมบูรณ์ เส้นแนวโน้มการเคลื่อนที่เฉลี่ยแนวโน้มนี้จะแสดงถึงความผันผวนของข้อมูลเพื่อแสดงรูปแบบหรือแนวโน้มที่ชัดเจนขึ้น ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่จะใช้จำนวนจุดข้อมูลที่ระบุ (กำหนดโดยตัวเลือก Period) โดยให้ค่าเฉลี่ยโดยเฉลี่ยและใช้ค่าเฉลี่ยเป็นจุดในบรรทัด ตัวอย่างเช่นถ้ากำหนดระยะเวลาเป็น 2 ค่าเฉลี่ยของจุดข้อมูลสองจุดแรกจะใช้เป็นจุดแรกในเส้นแนวโน้มเฉลี่ยเคลื่อนไหว ค่าเฉลี่ยของจุดข้อมูลที่สองและสามใช้เป็นจุดที่สองในเส้นแนวโน้ม ฯลฯ เส้นแนวโน้มค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ใช้สมการนี้: จำนวนจุดในเส้นแนวโน้มเฉลี่ยเคลื่อนที่เท่ากับจำนวนจุดทั้งหมดในชุดลบด้วย หมายเลขที่คุณระบุสำหรับงวด ในแผนภูมิกระจายเส้นแนวโน้มจะขึ้นอยู่กับลำดับของค่า x ในแผนภูมิ สำหรับผลลัพธ์ที่ดีขึ้นให้จัดเรียงค่า x ก่อนที่จะเพิ่มค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ เส้นค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ต่อไปนี้แสดงรูปแบบจำนวนบ้านที่ขายในช่วงระยะเวลา 26 สัปดาห์ในทางปฏิบัติค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่จะให้ค่าประมาณที่ดีของค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลเวลาถ้าค่าเฉลี่ยมีค่าคงที่หรือค่อยๆเปลี่ยนไป ในกรณีของค่าเฉลี่ยคงที่ค่าที่มากที่สุดของ m จะให้ค่าประมาณที่ดีที่สุดของค่าเฉลี่ยต้นแบบ ระยะสังเกตอีกต่อไปจะเป็นค่าเฉลี่ยของผลกระทบของความแปรปรวน วัตถุประสงค์ของการให้ m ที่มีขนาดเล็กคือการให้การคาดการณ์เพื่อตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงในกระบวนการอ้างอิง เพื่อแสดงให้เห็นว่าเราเสนอชุดข้อมูลที่รวมการเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยที่แท้จริงของชุดข้อมูลเวลา ภาพแสดงชุดข้อมูลเวลาที่ใช้สำหรับการแสดงภาพพร้อมกับความต้องการเฉลี่ยที่สร้างขึ้น ค่าเฉลี่ยเริ่มต้นเป็นค่าคงที่ที่ 10 เริ่มต้นที่ 21 เวลาจะเพิ่มขึ้นโดยหนึ่งหน่วยในแต่ละช่วงเวลาจนกว่าจะถึงค่า 20 ในเวลา 30 จากนั้นจะกลายเป็นค่าคงที่อีกครั้ง ข้อมูลจะถูกจำลองด้วยการเพิ่มค่าเฉลี่ยเสียงสุ่มจากการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเป็นศูนย์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3. ผลการจำลองจะปัดเป็นจำนวนเต็มใกล้ที่สุด ตารางแสดงการสังเกตแบบจำลองที่ใช้สำหรับตัวอย่าง เมื่อเราใช้ตารางเราต้องจำไว้ว่าในเวลาใดก็ตามข้อมูลที่ผ่านมาเป็นที่รู้จักเท่านั้น การประมาณค่าพารามิเตอร์ของโมเดลสำหรับค่าที่แตกต่างกันสามค่าของ m จะแสดงพร้อมกับค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลเวลาในรูปด้านล่าง ตัวเลขนี้แสดงค่าประมาณเฉลี่ยเคลื่อนที่ของค่าเฉลี่ยในแต่ละครั้งและไม่ใช่การคาดการณ์ การคาดการณ์จะเปลี่ยนเส้นโค้งค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ไปทางขวาตามช่วงเวลา หนึ่งข้อสรุปจะเห็นได้ชัดทันทีจากรูป สำหรับทั้งสามค่าประมาณค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่จะล่าช้ากว่าเส้นตรงโดยมีความล่าช้าเพิ่มขึ้นจาก m ความล่าช้าคือระยะห่างระหว่างรูปแบบกับการประมาณในมิติเวลา เนื่องจากความล่าช้าค่าเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ต่ำกว่าข้อสังเกตเป็นค่าเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้น ความลำเอียงของตัวประมาณคือความแตกต่างในเวลาที่กำหนดในค่าเฉลี่ยของแบบจำลองและค่าเฉลี่ยที่คำนวณโดยค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ ความอคติเมื่อค่าเฉลี่ยเพิ่มขึ้นเป็นลบ สำหรับค่าเฉลี่ยที่ลดลงอคติเป็นบวก ความล่าช้าในเวลาและอคติที่นำมาใช้ในการประมาณค่านี้เป็นหน้าที่ของ m ค่าที่มากขึ้นของ m ยิ่งใหญ่ขนาดของความล่าช้าและอคติ สำหรับซีรีส์ที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องโดยมีแนวโน้ม a. ค่าของความล่าช้าและความลำเอียงของ estimator ของค่าเฉลี่ยจะได้รับในสมการด้านล่าง เส้นโค้งตัวอย่างไม่ตรงกับสมการเหล่านี้เนื่องจากตัวอย่างไม่ได้เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องแทนที่จะเริ่มเป็นค่าคงที่เปลี่ยนเป็นแนวโน้มและจะกลายเป็นค่าคงที่อีกครั้ง นอกจากนี้เส้นโค้งตัวอย่างยังได้รับผลกระทบจากเสียงดัง การคาดการณ์ค่าเฉลี่ยของช่วงเวลาในอนาคตจะแสดงโดยการขยับเส้นโค้งไปทางขวา ความล่าช้าและความลำเอียงเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน สมการด้านล่างแสดงถึงความล่าช้าและความลำเอียงของระยะเวลาคาดการณ์ในอนาคตเมื่อเทียบกับพารามิเตอร์ของโมเดล อีกครั้งสูตรเหล่านี้เป็นชุดเวลาที่มีแนวโน้มเชิงเส้นคงที่ เราไม่ควรแปลกใจที่ผลลัพธ์นี้ ตัวประมาณค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่อยู่บนพื้นฐานสมมติฐานค่าเฉลี่ยคงที่และตัวอย่างมีแนวโน้มเป็นเส้นตรงตามค่าเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาการศึกษา เนื่องจากชุดข้อมูลเรียลไทม์จะไม่ค่อยตรงตามสมมติฐานของรูปแบบใดก็ตามเราควรเตรียมพร้อมสำหรับผลลัพธ์ดังกล่าว นอกจากนี้เรายังสามารถสรุปจากรูปที่ความแปรปรวนของเสียงรบกวนมีผลมากที่สุดสำหรับขนาดเล็ก ค่าประมาณมีความผันผวนมากขึ้นสำหรับค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่ 5 กว่าค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ของ 20 เรามีความต้องการที่ขัดแย้งกันในการเพิ่ม m เพื่อลดผลกระทบของความแปรปรวนเนื่องจากเสียงรบกวนและลด m เพื่อให้การคาดการณ์ตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงได้มากขึ้น ในความหมาย ข้อผิดพลาดคือความแตกต่างระหว่างข้อมูลจริงกับค่าคาดการณ์ ถ้าชุดข้อมูลเวลาเป็นค่าคงที่มูลค่าที่คาดไว้ของข้อผิดพลาดจะเป็นศูนย์และความแปรปรวนของข้อผิดพลาดจะประกอบด้วยคำที่เป็นหน้าที่ของและคำที่สองซึ่งเป็นความแปรปรวนของเสียง คำที่หนึ่งคือค่าความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยที่ประมาณด้วยตัวอย่างของการสังเกตการณ์ m สมมติว่าข้อมูลมาจากประชากรที่มีค่าเฉลี่ยคงที่ ระยะนี้จะลดลงโดยทำให้ m มีขนาดใหญ่ที่สุด m ที่มีขนาดใหญ่ทำให้การคาดการณ์ไม่ตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงชุดข้อมูลอ้างอิง เพื่อให้การคาดการณ์สามารถตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงได้เราต้องการให้ m มีขนาดเล็กที่สุด (1) แต่จะเพิ่มความแปรปรวนของข้อผิดพลาด การคาดการณ์ในทางปฏิบัติต้องมีค่ากลาง การคาดการณ์ด้วย Excel การคาดการณ์ add-in จะใช้สูตรค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ ตัวอย่างด้านล่างแสดงการวิเคราะห์โดย add-in สำหรับข้อมูลตัวอย่างในคอลัมน์ B 10 ข้อสังเกตแรกมีการจัดทำดัชนี -9 ถึง 0 เมื่อเทียบกับตารางด้านบนดัชนีระยะเวลาจะเปลี่ยนไป -10 การสังเกตสิบข้อแรกให้ค่าเริ่มต้นสำหรับการประมาณและใช้คำนวณค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่สำหรับช่วงเวลา 0 คอลัมน์ MA (10) (C) แสดงค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่คำนวณได้ ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ m อยู่ในเซลล์ C3 คอลัมน์ Fore (1) (D) จะแสดงการคาดการณ์สำหรับระยะเวลาหนึ่งในอนาคต ช่วงคาดการณ์อยู่ในเซลล์ D3 เมื่อช่วงคาดการณ์มีการเปลี่ยนแปลงไปเป็นจำนวนที่มากขึ้นตัวเลขในคอลัมน์ Fore จะถูกเลื่อนลง คอลัมน์ Err (1) (E) แสดงความแตกต่างระหว่างการสังเกตและการคาดการณ์ ตัวอย่างเช่นการสังเกตในเวลาที่ 1 คือ 6 ค่าที่คาดการณ์ไว้จากค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ในช่วงเวลา 0 คือ 11.1 ข้อผิดพลาดคือ -5.1 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและค่าเฉลี่ยส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (MAD) คำนวณในเซลล์ E6 และ E7 ตามลำดับการใช้งาน R for Time Series การวิเคราะห์อนุกรมเวลาชุดคำศัพท์เล่มนี้จะอธิบายวิธีการใช้ซอฟต์แวร์ทางสถิติ R เพื่อวิเคราะห์บางอย่างที่เป็นประโยชน์ในการวิเคราะห์ ข้อมูลชุดข้อมูลเวลา หนังสือเล่มนี้สันนิษฐานว่าผู้อ่านมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการวิเคราะห์อนุกรมเวลาและจุดสนใจหลักของหนังสือเล่มนี้ไม่ใช่เพื่ออธิบายถึงการวิเคราะห์อนุกรมเวลา แต่อธิบายถึงวิธีการวิเคราะห์เหล่านี้โดยใช้ R. ถ้าคุณยังใหม่กับซีรีส์เวลา การวิเคราะห์และต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดใด ๆ ที่นำเสนอในที่นี้ฉันขอแนะนำหนังสือ 8220Time series8221 ของ Open University (รหัสผลิตภัณฑ์ M24902) ที่มีจำหน่ายจาก Open University Shop ในหนังสือเล่มนี้ฉันจะใช้ชุดข้อมูลชุดข้อมูลตามเวลาที่ Rob Hyndman ได้รับในไลบรารีข้อมูล Time Series ของเขาที่ robjhyndmanTSDL หากคุณชอบหนังสือเล่มนี้คุณอาจต้องการดูหนังสือเล่มเล็ก ๆ เกี่ยวกับการใช้ R สำหรับสถิติทางการแพทย์ชีวประวัติของฉัน - a-little-book-of-for-biomedical-statistics. readthedocs. org และหนังสือเล่มเล็ก ๆ ของฉันเกี่ยวกับการใช้ R สำหรับการวิเคราะห์แบบหลายตัวแปร, little-book-of-for-for-ultivariate-analysis. readthedocs. org การอ่านข้อมูลอนุกรมเวลาสิ่งแรกที่คุณจะต้องทำเพื่อวิเคราะห์ข้อมูลชุดเวลาของคุณคือการอ่านข้อมูลลงใน R และวางแผนชุดข้อมูลเวลา คุณสามารถอ่านข้อมูลลงใน R โดยใช้ฟังก์ชั่น scan () ซึ่งจะถือว่าข้อมูลของคุณอยู่ในแฟ้มข้อความแบบง่ายๆด้วยคอลัมน์เดียว ตัวอย่างเช่นไฟล์ robjhyndmantsdldatamisckings. dat มีข้อมูลเกี่ยวกับอายุการเสียชีวิตของกษัตริย์ต่อเนื่องของอังกฤษโดยเริ่มจาก William Conqueror (ต้นฉบับ: Hipel และ Mcleod, 1994) ชุดข้อมูลมีลักษณะดังนี้: เฉพาะบรรทัดแรกของไฟล์เท่านั้นที่แสดงขึ้น สามบรรทัดแรกมีความคิดเห็นเกี่ยวกับข้อมูลบางส่วนและเราต้องการละเว้นข้อมูลนี้เมื่อเราอ่านข้อมูลลงใน R. เราสามารถใช้พารามิเตอร์ 8220skip8221 ของฟังก์ชัน scan () ซึ่งระบุจำนวนบรรทัดที่ด้านบนของ ไฟล์ที่จะละเว้น หากต้องการอ่านไฟล์ใน R โดยไม่สนใจบรรทัดแรกสามบรรทัดเราจะพิมพ์: ในกรณีนี้อายุของราชาภิเษก 42 แห่งของอังกฤษถูกอ่านลงในตัวแปร 8216kings8217 เมื่อคุณอ่านข้อมูลชุดข้อมูลเวลาเป็น R แล้วขั้นตอนต่อไปคือการเก็บข้อมูลในชุดข้อมูลอนุกรมเวลาใน R เพื่อให้คุณสามารถใช้ฟังก์ชัน R8217s จำนวนมากในการวิเคราะห์ข้อมูลชุดเวลาได้ ในการจัดเก็บข้อมูลในวัตถุแบบอนุกรมเวลาเราใช้ฟังก์ชัน ts () ใน R. ตัวอย่างเช่นเพื่อเก็บข้อมูลในตัวแปร 8216kings8217 เป็นชุดข้อมูลอนุกรมเวลาใน R เราพิมพ์: บางครั้งชุดข้อมูลชุดเวลาที่คุณ อาจได้รับการเก็บรวบรวมเป็นระยะ ๆ ซึ่งน้อยกว่าหนึ่งปีเช่นรายเดือนหรือรายไตรมาส ในกรณีนี้คุณสามารถระบุจำนวนครั้งที่มีการรวบรวมข้อมูลต่อปีโดยใช้พารามิเตอร์ 8216frequency8217 ในฟังก์ชัน ts () สำหรับข้อมูลชุดข้อมูลรายเดือนคุณตั้งความถี่ 12 ในขณะที่ข้อมูลชุดข้อมูลรายไตรมาสจะกำหนดความถี่ 4 นอกจากนี้คุณสามารถระบุปีแรกที่มีการรวบรวมข้อมูลและช่วงแรกในปีนั้นโดยใช้พารามิเตอร์ 8216start8217 ในฟังก์ชัน ts () ตัวอย่างเช่นถ้าจุดข้อมูลแรกตรงกับไตรมาสที่สองของปี 1986 คุณจะตั้งค่าเริ่มต้น (1986,2) ตัวอย่างคือชุดข้อมูลจำนวนการเกิดต่อเดือนในนิวยอร์กซิตี้ตั้งแต่เดือนมกราคม พ. ศ. 2489 ถึงธันวาคม พ. ศ. 2502 (ซึ่งเดิมเก็บรวบรวมโดยนิวตัน) ข้อมูลนี้มีอยู่ในไฟล์ robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat เราสามารถอ่านข้อมูลใน R และจัดเก็บข้อมูลเป็นชุดข้อมูลอนุกรมเวลาได้โดยการพิมพ์: ในทำนองเดียวกันไฟล์ robjhyndmantsdldatadatafancy. dat มียอดขายรายเดือนสำหรับร้านขายของที่ระลึกในเมืองริมหาดใน Queensland, Australia สำหรับมกราคม 1987 - ธันวาคม 1993 (ข้อมูลต้นฉบับจาก Wheelwright และ Hyndman, 1998) เราสามารถอ่านข้อมูลใน R ได้โดยการพิมพ์: Plotting Time Series เมื่อคุณอ่านชุดข้อมูลเวลาเป็น R แล้วขั้นตอนต่อไปคือการทำพล็อตข้อมูลชุดข้อมูลเวลาซึ่งคุณสามารถทำอะไรได้ด้วย plot. ts () ใน R. ตัวอย่างเช่นเพื่อพล็อตชุดเวลาของอายุของการตายของ 42 พระมหากษัตริย์ต่อเนื่องของอังกฤษเราพิมพ์: เราสามารถดูได้จากพล็อตครั้งที่ชุดเวลานี้อาจจะมีการอธิบายโดยใช้แบบจำลอง additive ตั้งแต่ความผันผวนแบบสุ่ม ในข้อมูลมีค่าคงที่โดยประมาณเมื่อเทียบกับช่วงเวลา ในทำนองเดียวกันในการวางแผนจำนวนเวลาที่เกิดจำนวนต่อเดือนในเมืองนิวยอร์กเราจะพิมพ์: เราเห็นได้จากชุดข้อมูลในช่วงเวลานี้ว่าอาจมีการเปลี่ยนแปลงตามฤดูกาลในจำนวนการเกิดต่อเดือน: มีจุดสูงสุดในทุกฤดูร้อน และรางน้ำทุกฤดูหนาว อีกครั้งดูเหมือนว่าชุดข้อมูลครั้งนี้น่าจะได้รับการอธิบายโดยใช้โมเดล additive เนื่องจากความผันผวนตามฤดูกาลมีความคงที่โดยประมาณในขนาดและไม่ดูเหมือนว่าจะขึ้นอยู่กับระดับของชุดข้อมูลเวลาและความผันผวนแบบสุ่มก็ดูเหมือนจะเป็น มีขนาดคงที่ตลอดเวลา ในทำนองเดียวกันในการจัดทำยอดขายรายเดือนสำหรับร้านขายของที่ระลึกในเมืองชายหาดในรัฐควีนส์แลนด์ประเทศออสเตรเลียเราพิมพ์: ในกรณีนี้ปรากฏว่าโมเดล additive ไม่เหมาะสำหรับการอธิบายชุดเวลานี้เนื่องจากขนาด ของความผันผวนตามฤดูกาลและความผันผวนแบบสุ่มดูเหมือนจะเพิ่มขึ้นตามระดับของชุดข้อมูล ดังนั้นเราอาจจำเป็นต้องเปลี่ยนชุดเวลาเพื่อให้ได้ชุดเวลาที่เปลี่ยนแปลงซึ่งสามารถอธิบายได้โดยใช้แบบจำลอง additive ตัวอย่างเช่นเราสามารถแปลงชุดข้อมูลเวลาโดยการคำนวณ log ธรรมชาติของข้อมูลเดิม: ที่นี่เราจะเห็นว่าขนาดของความผันผวนตามฤดูกาลและความผันผวนแบบสุ่มในชุดข้อมูลที่เปลี่ยนเป็นข้อมูลบันทึกมีแนวโน้มที่จะคงที่ตลอดเวลาและทำ ไม่ขึ้นอยู่กับระดับของชุดข้อมูลเวลา ดังนั้นซีรีส์เวลาที่เปลี่ยนเป็นข้อมูลเข้าสู่ระบบสามารถอธิบายได้โดยใช้แบบจำลอง additive การสลายตัวของซีรีส์เวลาการสลายชุดข้อมูลเวลาจะหมายถึงการแยกองค์ประกอบออกเป็นส่วนประกอบซึ่งมักเป็นส่วนประกอบของแนวโน้มและส่วนประกอบที่ผิดปกติและถ้าเป็นชุดฤดูกาลตามฤดูกาลองค์ประกอบตามฤดูกาล การย่อยสลายข้อมูลที่ไม่ใช่ฤดูกาลข้อมูลชุดเวลานอกเวลาตามฤดูกาลประกอบด้วยองค์ประกอบแนวโน้มและองค์ประกอบที่ไม่ต่อเนื่อง การสลายชุดข้อมูลเวลาเกี่ยวข้องกับการพยายามแยกชุดข้อมูลเวลาออกเป็นองค์ประกอบเหล่านี้นั่นคือการประมาณส่วนประกอบเทรนด์และองค์ประกอบที่ไม่สม่ำเสมอ ในการประมาณองค์ประกอบเทรนด์ของซีรีส์เวลาที่ไม่ใช่ฤดูกาลซึ่งสามารถอธิบายได้โดยใช้โมเดล additive เป็นเรื่องปกติที่จะใช้วิธีการปรับให้ราบเรียบเช่นการคำนวณค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบเรียบง่ายของชุดข้อมูลเวลา ฟังก์ชัน SMA () ในแพคเกจ 8220TTR8221 R สามารถใช้เพื่อให้ข้อมูลชุดข้อมูลเป็นไปอย่างราบรื่นโดยใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบเรียบ ในการใช้ฟังก์ชันนี้เราต้องติดตั้งแพ็คเกจ 8220TTR8221 R (สำหรับคำแนะนำในการติดตั้งแพคเกจ R โปรดดูที่การติดตั้งแพคเกจ R) เมื่อติดตั้งแพ็คเกจ 8220TTR8221 R แล้วคุณสามารถโหลดแพคเกจ 8220TTR8221 R ได้โดยการพิมพ์: จากนั้นคุณสามารถใช้ฟังก์ชัน 8220SMA () 8221 เพื่อให้ข้อมูลชุดข้อมูลเป็นไปอย่างราบรื่น ในการใช้ฟังก์ชัน SMA () คุณต้องระบุลำดับ (ช่วง) ของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่โดยใช้พารามิเตอร์ 8220n8221 ตัวอย่างเช่นในการคำนวณค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบง่ายของลำดับที่ 5 เรากำหนด n5 ในฟังก์ชัน SMA () ยกตัวอย่างเช่นตามที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นชุดเวลาของอายุของราชาภิเษกที่ 42 ของอังกฤษปรากฏไม่ใช่ฤดูกาลและสามารถอธิบายได้โดยใช้แบบจำลอง additive เนื่องจากความผันผวนของข้อมูลที่สุ่มมีขนาดคงที่โดยประมาณ เวลา: ดังนั้นเราสามารถลองคำนวณคอมโพเนนต์แนวโน้มของซีรีส์เวลานี้ได้โดยการปรับให้เรียบโดยใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่เรียบง่าย เพื่อเรียบชุดเวลาโดยใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่เรียบง่ายของคำสั่งที่ 3 และพล็อตข้อมูลชุดข้อมูลที่ราบรื่นเราพิมพ์: ยังคงดูเหมือนจะเป็นจำนวนมากของความผันผวนแบบสุ่มในชุดเวลาที่เรียบโดยใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่เรียบง่ายของคำสั่งที่ 3 ดังนั้นเพื่อประมาณการคอมโพเนนต์แนวโน้มอย่างแม่นยำมากขึ้นเราอาจต้องการลองทำให้ข้อมูลเรียบโดยมีค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่เรียบง่ายของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น ใช้เวลาในการทดลองและข้อผิดพลาดเล็กน้อยเพื่อค้นหาจำนวนที่เหมาะสมของการทำให้เรียบ ตัวอย่างเช่นเราสามารถลองใช้ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบง่ายของคำสั่งที่ 8: ข้อมูลที่เรียบโดยมีค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่เรียบง่ายของคำสั่งที่ 8 ให้ภาพที่ชัดเจนขึ้นขององค์ประกอบของแนวโน้มและเราจะเห็นได้ว่าอายุความตายของกษัตริย์อังกฤษดูเหมือนจะ ได้ลดลงจากประมาณ 55 ปีไปประมาณ 38 ปีในรัชสมัยของ 20 กษัตริย์แรกและจากนั้นเพิ่มขึ้นหลังจากที่ไปประมาณ 73 ปีโดยสิ้นรัชกาลของพระเจ้า 40 ในชุดเวลา การแจกแจงข้อมูลตามฤดูกาลซีรีส์เวลาตามฤดูกาลประกอบด้วยองค์ประกอบแนวโน้มองค์ประกอบตามฤดูกาลและองค์ประกอบที่ไม่สม่ำเสมอ การแยกชุดข้อมูลเวลาหมายถึงการแบ่งช่วงเวลาออกเป็นองค์ประกอบสามส่วนนี้นั่นคือการประมาณค่าส่วนประกอบทั้งสามนี้ ในการประมาณองค์ประกอบเทรนด์และองค์ประกอบตามฤดูกาลของซีรีส์เวลาตามฤดูกาลที่สามารถอธิบายได้โดยใช้แบบจำลอง additive เราสามารถใช้ฟังก์ชัน 8220decompose () 8221 ในอาร์ได้ฟังก์ชันนี้จะประมาณการส่วนประกอบตามฤดูกาลและไม่สม่ำเสมอของชุดข้อมูลเวลาที่ สามารถอธิบายได้โดยใช้แบบจำลอง additive 8220decompose () 8221 ส่งกลับค่าอ็อบเจ็กต์ list เป็นผลลัพธ์ซึ่งค่าประมาณของส่วนประกอบตามฤดูกาลคอมโพเนนต์แนวโน้มและส่วนประกอบที่ผิดปกติจะถูกเก็บไว้ในองค์ประกอบที่มีชื่อของอ็อบเจ็กต์ list ที่เรียกว่า 8220seasonal8221, 8220trend8221 และ 8220random8221 ตามลำดับ ตัวอย่างเช่นตามที่กล่าวไว้ข้างต้นชุดข้อมูลจำนวนเวลาเกิดขึ้นต่อเดือนในนิวยอร์กซิตี้เป็นฤดูกาลที่มียอดทุกฤดูร้อนและร่องน้ำทุกฤดูหนาวและสามารถอธิบายได้โดยใช้แบบจำลองการเติมเงินเนื่องจากความผันผวนตามฤดูกาลและแบบสุ่มดูเหมือนจะเป็นไปได้ เป็นค่าคงที่โดยประมาณเมื่อเทียบกับช่วงเวลา: ในการประมาณแนวโน้มส่วนประกอบตามฤดูกาลและไม่สม่ำเสมอของชุดข้อมูลในช่วงเวลานี้เราจะพิมพ์ค่าประมาณขององค์ประกอบตามฤดูกาลแนวโน้มและองค์ประกอบที่ไม่สม่ำเสมอจะถูกเก็บไว้ในตัวแปรที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่เกิดขึ้นแบบคอมพลีเมนเทชั่นการกำเนิดช่วงเวลาเกิดขึ้นและช่วงเวลาที่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่นเราสามารถพิมพ์ค่าประมาณขององค์ประกอบตามฤดูกาลได้โดยพิมพ์: ปัจจัยฤดูกาลที่คาดการณ์ไว้จะมีขึ้นในช่วงเดือนมกราคม - ธันวาคมและจะเหมือนกันในแต่ละปี ปัจจัยฤดูกาลที่ใหญ่ที่สุดคือเดือนกรกฎาคม (ประมาณ 1.46) และต่ำสุดคือเดือนกุมภาพันธ์ (ประมาณ -2.08) ซึ่งบ่งชี้ว่าดูเหมือนว่าจะมียอดการคลอดสูงสุดในเดือนกรกฎาคมและมีการคลอดในเดือนกุมภาพันธ์ในแต่ละปี เราสามารถจัดทำประมาณการแนวโน้มส่วนประกอบตามฤดูกาลและไม่สม่ำเสมอของชุดข้อมูลเวลาได้โดยใช้ฟังก์ชัน 8220plot () 8221 ตัวอย่างเช่นพล็อตด้านบนแสดงชุดข้อมูลเวลาต้นฉบับ (ด้านบน) องค์ประกอบเทรนด์โดยประมาณ (ที่สองจากด้านบนสุด) องค์ประกอบที่เป็นฤดูกาลตามฤดูกาล (ที่สามจากด้านบน) และองค์ประกอบที่ไม่สม่ำเสมอโดยประมาณ (ด้านล่าง) เราเห็นว่าส่วนประกอบของแนวโน้มที่คาดการณ์ลดลงเล็กน้อยจากประมาณ 24 ในปี 1947 เป็นประมาณ 22 ในปี 1948 ตามมาด้วยการเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอจากนั้นเป็นประมาณ 27 ในปี 1959 การปรับฤดูกาลถ้าคุณมีชุดเวลาตามฤดูกาลที่สามารถอธิบายได้โดยใช้ แบบจำลองเพิ่มเติมคุณสามารถปรับชุดข้อมูลเวลาตามฤดูกาลโดยการประมาณองค์ประกอบตามฤดูกาลและลบส่วนประกอบตามฤดูกาลโดยประมาณออกจากชุดเวลาเดิม เราสามารถทำได้โดยใช้ค่าประมาณขององค์ประกอบตามฤดูกาลที่คำนวณโดยฟังก์ชัน 8221decompose () 8221 ตัวอย่างเช่นหากต้องการปรับฤดูกาลตามจำนวนเดือนเกิดในเมือง New York ตามฤดูกาลเราสามารถคาดการณ์องค์ประกอบตามฤดูกาลโดยใช้ 8220decompose () 8221 จากนั้นลบส่วนประกอบตามฤดูกาลออกจากชุดเวลาเดิม: จากนั้นเราจะสามารถคำนวณ ชุดเวลาที่ปรับฤดูกาลตามฤดูกาลโดยใช้ 8220plot () 8221 ฟังก์ชันโดยพิมพ์: คุณจะเห็นว่ารูปแบบตามฤดูกาลถูกลบออกจากชุดเวลาที่ปรับฤดูกาลแล้ว ซีรีส์เวลาที่ปรับฤดูกาลตามฤดูกาลนี้มีองค์ประกอบเทรนด์และองค์ประกอบที่ไม่สม่ำเสมอ การคาดการณ์โดยใช้ Exponential Smoothing Exponential smoothing สามารถใช้เพื่อคาดการณ์ระยะสั้นสำหรับข้อมูลชุดเวลาได้ การเรียบอย่างง่าย Exponential ถ้าคุณมีชุดข้อมูลเวลาที่สามารถอธิบายได้โดยใช้โมเดล additive ที่มีระดับคงที่และไม่มี seasonality คุณสามารถใช้การคำนวณแบบเรียบง่ายเพื่อคาดการณ์ในระยะสั้นได้ วิธีการเรียบง่ายชี้แจงให้เป็นวิธีการประมาณระดับที่จุดเวลาปัจจุบัน Smoothing ถูกควบคุมโดยอัลฟ่าพารามิเตอร์สำหรับการประมาณระดับ ณ จุดเวลาปัจจุบัน ค่าอัลฟาอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1. ค่าของอัลฟาที่ใกล้เคียงกับ 0 หมายความว่าน้ำหนักเพียงเล็กน้อยจะอยู่ในข้อสังเกตล่าสุดเมื่อทำการคาดการณ์ค่าในอนาคต ตัวอย่างเช่นไฟล์ robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat มีปริมาณฝนตกทุกปีเป็นนิ้วสำหรับลอนดอนตั้งแต่ปีพ. ศ. 2356 - 2455 (ข้อมูลเดิมจาก Hipel และ McLeod, 1994) เราสามารถอ่านข้อมูลลงใน R และพล็อตได้โดยการพิมพ์: คุณสามารถเห็นได้จากพล็อตที่มีระดับคงที่โดยประมาณ (ค่าคงที่อยู่ที่ประมาณ 25 นิ้ว) ความผันผวนของข้อมูลสุ่มในชุดเวลาดูเหมือนจะมีค่าคงที่โดยประมาณในระยะเวลาหนึ่งดังนั้นจึงอาจเหมาะสมที่จะอธิบายข้อมูลโดยใช้แบบจำลอง additive ดังนั้นเราจึงสามารถคาดการณ์โดยใช้การเรียบอย่างง่ายแทน เพื่อให้การคาดการณ์โดยใช้การเรียบอย่างง่ายใน R เราสามารถใส่คำอธิบายแบบเรียบง่ายที่ทำนายได้ด้วยการใช้ฟังก์ชัน 8220HoltWinters () 8221 ใน R. การใช้ HoltWinters () เพื่อให้เรียบง่ายขึ้นเราจำเป็นต้องตั้งค่าพารามิเตอร์ betaFALSE และ gammaFALSE ไว้ใน ฟังก์ชั่น HoltWinters () (พารามิเตอร์เบต้าและแกมมาใช้สำหรับการปรับให้เรียบแบบ Holt8217s หรือการเรียบเรียงตามลําดับของ Holt-Winters ตามที่อธิบายด้านล่าง) ฟังก์ชัน HoltWinters () จะคืนค่าตัวแปรรายชื่อที่มีองค์ประกอบหลายชื่อ ตัวอย่างเช่นในการใช้การเรียบง่ายแบบเสวนาเพื่อคาดการณ์ปริมาณฝนที่ตกเป็นประจำทุกปีในลอนดอนเราจะพิมพ์: ผลลัพธ์ของ HoltWinters () บอกเราว่าค่าประมาณของพารามิเตอร์ alpha อยู่ที่ประมาณ 0.024 ซึ่งใกล้เคียงกับศูนย์บอกให้เราทราบว่าการคาดการณ์ขึ้นอยู่กับการสังเกตล่าสุดและการสังเกตการณ์ล่าสุดที่ไม่ค่อยได้รับการตอบรับ (แม้ว่าจะมีการสังเกตน้ำหนักที่ค่อนข้างมากก็ตาม) โดยค่าเริ่มต้น HoltWinters () จะทำให้การคาดการณ์ในช่วงเวลาเดียวกันที่ครอบคลุมตามชุดเวลาเดิมของเรา ในกรณีนี้ชุดเวลาเดิมของเรารวมถึงปริมาณน้ำฝนสำหรับลอนดอนจาก 1813-1912 ดังนั้นการคาดการณ์จึงเป็นเช่นนั้นสำหรับ 1813-1912 ในตัวอย่างข้างต้นเราได้เก็บผลลัพธ์ของฟังก์ชัน HoltWinters () ไว้ในตัวแปรรายการ 8220rainseriesforecasts8221 การคาดการณ์ที่ทำโดย HoltWinters () จะถูกเก็บไว้ในองค์ประกอบที่มีชื่อของตัวแปรรายการนี้ชื่อ 8220fitted8221 เพื่อให้เราสามารถรับค่าได้โดยการพิมพ์: เราสามารถพล็อตชุดเวลาต้นฉบับกับการคาดการณ์ได้โดยการพิมพ์: พล็อตแสดงชุดเวลาต้นฉบับใน ดำและการคาดการณ์เป็นเส้นสีแดง ชุดข้อมูลการคาดการณ์ในช่วงเวลานี้ดูเรียบง่ายกว่าชุดข้อมูลเดิมของข้อมูลที่นี่ เพื่อวัดความถูกต้องของการคาดการณ์เราสามารถคำนวณผลรวมของข้อผิดพลาดในการคำนวณสำหรับข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่างนั่นคือข้อผิดพลาดในการคาดการณ์สำหรับช่วงเวลาที่ครอบคลุมตามชุดเวลาเดิมของเรา ข้อผิดพลาดของ sum-of-squared ถูกเก็บไว้ใน element ชื่อของตัวแปร list 8220rainseriesforecasts8221 ที่เรียกว่า 8220SSE8221 เพื่อให้เราสามารถรับค่าได้โดยการพิมพ์: นั่นคือข้อผิดพลาดของ sum-of-squared คือ 1828.855 เป็นเรื่องธรรมดาในการเรียบง่ายชี้แจงให้ใช้ค่าแรกในซีรีส์เวลาเป็นค่าเริ่มต้นสำหรับระดับ ตัวอย่างเช่นในชุดข้อมูลเวลาฝนตกในลอนดอนค่าแรกเป็น 23.56 นิ้วสำหรับปริมาณน้ำฝนในปี 1813 คุณสามารถระบุค่าเริ่มต้นสำหรับระดับในฟังก์ชัน HoltWinters () โดยใช้พารามิเตอร์ 8220l. start8221 ตัวอย่างเช่นเพื่อให้การคาดการณ์ที่มีค่าเริ่มต้นของระดับที่ตั้งไว้ที่ 23.56 เราพิมพ์: ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นโดยค่าเริ่มต้น HoltWinters () จะทำให้การคาดการณ์สำหรับช่วงเวลาที่ครอบคลุมโดยข้อมูลเดิมซึ่งเป็น 1813-1912 สำหรับปริมาณน้ำฝน time series เราสามารถคาดการณ์จุดเวลาต่อไปได้โดยใช้ 8220forecast. HoltWinters () 8221 ฟังก์ชันในแพคเกจ R 8220forecast8221 ในการใช้ฟังก์ชัน forecast. HoltWinters () ก่อนอื่นเราต้องติดตั้งแพ็กเกจ 8220forecast8221 R (สำหรับคำแนะนำในการติดตั้งแพคเกจ R โปรดดูที่การติดตั้งแพคเกจ R) เมื่อติดตั้งแพคเกจ 8220forecast8221 R แล้วคุณสามารถโหลดแพคเกจ 8220forecast8221 R ได้โดยการพิมพ์: เมื่อใช้งานฟังก์ชัน forecast. HoltWinters () เป็นอาร์กิวเมนต์แรก (อินพุท) คุณจะส่งผ่านโมเดลการคาดการณ์ที่คุณได้ใช้ไปแล้วโดยใช้ ฟังก์ชัน HoltWinters () ตัวอย่างเช่นในกรณีของชุดเวลาฝนตกเราได้เก็บโมเดลการคาดการณ์ที่ทำโดยใช้ HoltWinters () ในตัวแปร 8220rainseriesforecasts8221 คุณระบุจำนวนจุดเวลาที่คุณต้องการคาดการณ์โดยใช้พารามิเตอร์ 8220h8221 ใน forecast. HoltWinters () ตัวอย่างเช่นเพื่อให้การคาดการณ์ของปริมาณน้ำฝนสำหรับปี 1814-1820 (8 ปีเพิ่มเติม) โดยใช้ forecast. HoltWinters () เราพิมพ์: ฟังก์ชัน forecast. HoltWinters () จะช่วยให้คุณคาดการณ์ปีเป็น 80 ช่วงการคาดการณ์สำหรับ การคาดการณ์และช่วงคาดการณ์ 95 สำหรับการคาดการณ์ ตัวอย่างเช่นปริมาณน้ำฝนที่คาดการณ์ไว้สำหรับปีพ. ศ. 2463 ประมาณ 24.68 นิ้วโดยมีช่วงคาดการณ์ 95 (16.24, 33.11) เราสามารถใช้ 8220plot. forecast () 8221 ฟังก์ชัน: ที่นี่คาดการณ์สำหรับ 1913-1920 ถูกวางแผนเป็นเส้นสีน้ำเงิน 80 ช่วงทำนายเป็นพื้นที่สีส้มสีส้มและ 95 เป็นพื้นที่สีเหลืองที่แรเงา ข้อผิดพลาด 8216forecast ถูกคำนวณเป็นค่าที่สังเกตได้หักค่าที่คาดการณ์ไว้สำหรับแต่ละช่วงเวลา เราสามารถคำนวณข้อผิดพลาดในการคาดการณ์สำหรับช่วงเวลาที่ครอบคลุมตามชุดข้อมูลเดิมของเราซึ่งเป็นข้อมูลปริมาณน้ำฝนในช่วงเวลา 1813-1912 เท่านั้น ดังที่ได้กล่าวมาข้างต้นหนึ่งในการวัดความถูกต้องของรูปแบบการคาดการณ์คือข้อผิดพลาดของ sum-of-squared-errors (SSE) สำหรับข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่าง ข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่างจะถูกเก็บไว้ในองค์ประกอบ 8220 ที่ระบุว่า 82221 ของตัวแปรรายการที่ส่งคืนโดย forecast. HoltWinters () หากไม่สามารถปรับปรุงรูปแบบการคาดการณ์ได้ควรไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาดในการคาดการณ์สำหรับการคาดการณ์ต่อเนื่อง กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้ามีความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาดในการคาดการณ์สำหรับการคาดการณ์ต่อเนื่องอาจเป็นไปได้ว่าการคาดการณ์การทำให้เรียบแบบเรียบง่ายอาจได้รับการปรับปรุงโดยเทคนิคการพยากรณ์อื่น หากต้องการทราบว่าเป็นกรณีนี้หรือไม่เราสามารถขอรับความผิดพลาดในการคาดการณ์ตัวอย่างในกรณีที่ล่าช้า 1-20 เราสามารถคำนวณ correlogram ของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์โดยใช้ฟังก์ชัน 8221a () 8221 ใน R. เพื่อระบุความล่าช้าสูงสุดที่เราต้องการดูเราใช้พารามิเตอร์ 8220lag. max8221 ใน acf () ตัวอย่างเช่นในการคำนวณ correlogram ของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่างสำหรับข้อมูลปริมาณน้ำฝนในลอนดอนสำหรับความล่าช้า 1-20 เราจะพิมพ์: คุณสามารถดูได้จากตัวอย่าง correlogram ที่ความสัมพันธ์กันที่ระดับ lag 3 เป็นเพียงการสัมผัสความสำคัญเท่านั้น เพื่อทดสอบว่ามีหลักฐานสำคัญสำหรับความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ล่าช้า 1-20 เราสามารถทดสอบ Ljung-Box ได้หรือไม่ ซึ่งสามารถทำได้ใน R โดยใช้ 8220Box. test () 8221 ฟังก์ชัน ความล่าช้าสูงสุดที่เราต้องการดูมีการระบุโดยใช้พารามิเตอร์ 8220lag8221 ในฟังก์ชัน Box. test () ตัวอย่างเช่นเมื่อต้องการทดสอบว่ามีการเชื่อมโยงกันที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ล่าช้า 1-20 สำหรับข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ตัวอย่างสำหรับข้อมูลปริมาณน้ำฝนในลอนดอนเราจะพิมพ์ที่นี่สถิติทดสอบ Ljung-Box เท่ากับ 17.4 และค่า p คือ 0.6 ดังนั้นมีหลักฐานน้อยมากเกี่ยวกับความสัมพันธ์กันที่ไม่ใช่ศูนย์ในข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่างที่ล่าช้า 1-20 เพื่อให้มั่นใจได้ว่าโมเดลการคาดการณ์ไม่สามารถปรับปรุงได้ดีกว่าควรเป็นเช่นนี้เพื่อตรวจสอบว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์มีการแจกแจงแบบปกติหรือไม่และค่าความแปรปรวนคงที่ เพื่อตรวจสอบว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์มีความแปรปรวนคงที่เราสามารถทำพล็อตเวลาของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่าง: พล็อตแสดงให้เห็นว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่างดูเหมือนจะมีความแปรปรวนคงที่ประมาณตลอดเวลาแม้ว่าจะมีขนาดของความผันผวนใน เริ่มต้นของชุดเวลา (1820-1830) อาจจะน้อยกว่าเล็กน้อยในภายหลัง (เช่น 1840-1850) เพื่อตรวจสอบว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์มีการแจกจ่ายโดยปกติหรือไม่ศูนย์เราสามารถจัดทำฮิสโตแกรมของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ได้โดยมีเส้นกราฟปกติที่ซ้อนทับซึ่งมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับการแจกแจงข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ ในการทำเช่นนี้เราสามารถกำหนดฟังก์ชัน R 8220plotForecastErrors () 8221 ด้านล่างนี้: คุณจะต้องคัดลอกฟังก์ชันข้างต้นลงใน R เพื่อใช้งาน จากนั้นคุณสามารถใช้ plotForecastErrors () เพื่อทำกราฟฮิสโตแกรม (มีการทับระดับเส้นโค้งปกติ) ของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์สำหรับการคาดการณ์ปริมาณน้ำฝน: พล็อตแสดงว่าการแจกแจงข้อผิดพลาดในการคาดการณ์นั้นอยู่ตรงกลางเป็นศูนย์และมีการกระจายตามปกติมากกว่าหรือน้อยกว่า ดูเหมือนว่าจะเบี่ยงเบนไปทางขวาเล็กน้อยเมื่อเทียบกับเส้นโค้งปกติ อย่างไรก็ตามความลาดเอียงขวาค่อนข้างเล็กและดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่ข้อผิดพลาดในการคาดการณ์จะมีการกระจายตามปกติโดยมีค่าเฉลี่ยศูนย์ การทดสอบ Ljung-Box แสดงให้เห็นว่ามีหลักฐานน้อยมากเกี่ยวกับการสัมพันธ์กันที่ไม่ใช่ศูนย์ในข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่างและการแจกแจงข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ดูเหมือนว่าจะมีการกระจายตามปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ นี่แสดงให้เห็นว่าวิธีการเรียบง่ายชี้แจงให้รูปแบบการคาดการณ์ที่เพียงพอสำหรับปริมาณน้ำฝนในลอนดอนซึ่งอาจจะไม่สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้ นอกจากนี้สมมติฐานที่ว่าช่วงการคาดการณ์ 80 และ 95 ขึ้นอยู่กับ (ที่ไม่มีการเทียบอัตโนมัติในข้อผิดพลาดในการคาดการณ์และข้อผิดพลาดในการคาดการณ์จะมีการกระจายตามปกติโดยมีค่าเฉลี่ยศูนย์และค่าความแปรปรวนคงที่) อาจถูกต้อง ถ้าคุณมีชุดข้อมูลเวลาที่สามารถอธิบายได้โดยใช้แบบจำลอง additive ที่มีแนวโน้มเพิ่มขึ้นหรือลดลงและไม่มีฤดูกาลคุณสามารถใช้การคำนวณหากำไรแบบละเอียดเพื่อให้ได้การคาดการณ์ในระยะสั้น Holt8217s การคำนวณความล้าสมัยของ Holt8217s จะประมาณระดับและความลาดชัน ณ จุดเวลาปัจจุบัน Smoothing ถูกควบคุมโดยพารามิเตอร์สองค่าอัลฟ่าสำหรับการประมาณระดับ ณ จุดเวลาปัจจุบันและเบต้าสำหรับการประมาณความชันของส่วนประกอบแนวโน้มที่จุดเวลาปัจจุบัน เช่นเดียวกับการเรียบง่ายชี้แจงอัลฟ่าและเบต้า paramters มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 และค่าที่ใกล้เคียงกับ 0 หมายความว่าน้ำหนักเพียงเล็กน้อยจะถูกวางไว้กับข้อสังเกตล่าสุดเมื่อทำการคาดการณ์ค่าในอนาคต ตัวอย่างชุดเวลาที่สามารถอธิบายได้โดยใช้แบบจำลองเพิ่มเติมที่มีแนวโน้มและไม่มีฤดูกาลเป็นชุดข้อมูลขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางของผู้หญิงในช่วงปีพ. ศ. 2409 ถึง พ. ศ. 2454 มีข้อมูลอยู่ในไฟล์ robjhyndmantsdldatarobertsskirts dat (ข้อมูลต้นฉบับจาก Hipel และ McLeod, 1994) เราสามารถอ่านและวางแผนข้อมูลใน R โดยการพิมพ์: เราสามารถดูได้จากพล็อตว่ามีเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นด้ายเพิ่มขึ้นจากประมาณ 600 ใน 1866 ถึงประมาณ 1050 ในปี 1880 และหลังจากนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางของห้อยลดลงประมาณ 520 ในปี 1911 เราจะต้องตั้งค่าพารามิเตอร์ gammaFALSE (พารามิเตอร์ gamma ใช้สำหรับการให้ความนุ่มนวลแบบเอ็กซอนเนลล์ - ฤดูหนาวของโฮลท์ - วินเทอร์ (Windmill Winters)) ซึ่งเป็นวิธีการที่ใช้ในการคาดการณ์ของ HoltWinters () ตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง) ตัวอย่างเช่นในการใช้การอธิบายแบบย่อหน้า Holt8217s ให้พอดีกับรูปแบบการคาดการณ์สำหรับเส้นผ่าศูนย์กลางของกระโปรงเส้นผ่าศูนย์กลางเราพิมพ์: ค่าประมาณของ alpha เท่ากับ 0.84 และ beta คือ 1.00 ค่าเหล่านี้สูงทั้งสองบอกเราว่าการประมาณค่าปัจจุบันของระดับและความชันขององค์ประกอบแนวโน้มจะขึ้นอยู่กับข้อสังเกตล่าสุดในชุดข้อมูลเวลา นี้ทำให้รู้สึกดีใช้งานง่ายเนื่องจากระดับและความลาดเอียงของชุดเวลาทั้งสองเปลี่ยนแปลงได้ค่อนข้างมากเมื่อเวลาผ่านไป ค่าของข้อผิดพลาดในการประมาณค่าของข้อผิดพลาดในการประมาณตัวอย่างคือ 16954 เราสามารถคำนวณชุดข้อมูลเวลาต้นฉบับเป็นเส้นสีดำโดยมีค่าคาดการณ์เป็นเส้นสีแดงอยู่ด้านบนโดยพิมพ์: เรา สามารถมองเห็นได้จากภาพที่คาดการณ์ในตัวอย่างดีกว่าค่าที่สังเกตได้แม้ว่าจะมีแนวโน้มที่จะล้าหลังค่าที่สังเกตได้นิดหน่อย ถ้าคุณต้องการคุณสามารถระบุค่าเริ่มต้นของระดับและความลาดชัน b ของคอมโพเนนต์แนวโน้มโดยใช้อาร์กิวเมนต์ 8220l. start8221 และ 8220b. start8221 สำหรับฟังก์ชัน HoltWinters () โดยปกติแล้วจะกำหนดค่าเริ่มต้นของระดับเป็นค่าแรกในชุดข้อมูลเวลา (608 สำหรับข้อมูลกระโปรง) และค่าเริ่มต้นของความชันเป็นค่าที่สองซึ่งลบด้วยค่าแรก (9 สำหรับข้อมูลกระโปรง) ยกตัวอย่างเช่นเพื่อให้พอดีกับรูปแบบการทำนายของข้อมูลที่อยู่ในกระโปรงโดยใช้การคำนวณหาค่าความละเอียดแบบละเอียดแบบ Holt8217s โดยมีค่าเริ่มต้น 608 สำหรับระดับและ 9 สำหรับความลาดชัน b ขององค์ประกอบแนวโน้มเราพิมพ์: สำหรับการเรียบง่ายชี้แจงเราสามารถคาดการณ์ได้ สำหรับเวลาในอนาคตที่ไม่ได้ครอบคลุมตามชุดเวลาเดิมโดยใช้ฟังก์ชัน forecast. HoltWinters () ในชุด 8220forecast8221 ตัวอย่างเช่นข้อมูลชุดข้อมูลเวลาของเราสำหรับชุดกระโปรงเป็นช่วงปี 1866 ถึง 1911 ทำให้เราสามารถคาดการณ์ได้ตั้งแต่ 1912 ถึง 1930 (19 จุดข้อมูลเพิ่มเติม) และวางแผนโดยพิมพ์: การคาดการณ์จะแสดงเป็นเส้นสีน้ำเงินโดยมี 80 ช่วงการคาดการณ์เป็นพื้นที่สีส้มที่เป็นสีส้มและช่วงคาดการณ์ 95 เป็นพื้นที่สีเหลืองที่แรเงา สำหรับการเรียบง่ายชี้แจงเราสามารถตรวจสอบว่ารูปแบบการทำนายสามารถปรับปรุงได้โดยการตรวจสอบว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ตัวอย่างแสดง autocorrelations ที่ไม่เป็นศูนย์ที่ lags 1-20 ตัวอย่างเช่นสำหรับข้อมูลของชุดกระโปรงเราสามารถสร้าง correlogram และดำเนินการทดสอบ Ljung-Box โดยการพิมพ์: ที่นี่ correlogram แสดงให้เห็นว่าตัวอย่างความสัมพันธ์อัตโนมัติสำหรับข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่างที่ระดับ lag 5 เกินขอบเขตที่มีนัยสำคัญ อย่างไรก็ตามเราคาดว่าหนึ่งใน 20 ของ autocorrelations สำหรับ 20 ครั้งแรกล่าช้าเกินขอบเขตสำคัญ 95 โดยบังเอิญเพียงอย่างเดียว เมื่อเราดำเนินการทดสอบ Ljung-Box ค่า p จะเท่ากับ 0.47 ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีหลักฐานน้อยมากเกี่ยวกับความสัมพันธ์กันที่ไม่ใช่ศูนย์ในข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่างที่ล่าช้า 1-20 สำหรับการเรียบเรียบง่ายเราควรตรวจสอบว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์มีความแปรปรวนคงที่ตลอดเวลาและมีการกระจายตามปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ เราสามารถทำได้โดยทำพล็อตเวลาของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์และฮิสโตแกรมของการแจกแจงข้อผิดพลาดในการคาดการณ์กับเส้นโค้งปกติที่ซ้อนทับ: พล็อตเวลาของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์แสดงให้เห็นว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์มีความแปรปรวนคงที่ประมาณตลอดเวลา ฮิสโทแกรมของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์แสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้ว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์มีการกระจายตามปกติโดยค่าเฉลี่ยศูนย์และความแปรปรวนคงที่ ดังนั้นการทดสอบ Ljung-Box แสดงให้เห็นว่ามีหลักฐานน้อยมากเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความคลาดเคลื่อนในข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ขณะที่พล็อตเวลาและฮิสโตแกรมของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์แสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้ว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์มีการแจกแจงแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ยศูนย์และความแปรปรวนคงที่ ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าการคำนวณหาค่าความละเอียดแบบเอกซ์ไทม์ Holt8217s ให้รูปแบบการทำนายที่เพียงพอสำหรับเส้นผ่าศูนย์กลางของกระโปรงซึ่งอาจไม่สามารถปรับปรุงได้ นอกจากนี้ยังหมายถึงสมมติฐานที่ว่าช่วงการคาดการณ์ 80 และ 95 ขึ้นอยู่กับว่าอาจเป็นผล Holt-Winters Smoothing แบบ Exponential หากคุณมีชุดข้อมูลเวลาที่สามารถอธิบายได้โดยใช้แบบจำลอง additive ที่มีแนวโน้มเพิ่มขึ้นหรือลดลงและฤดูกาลคุณสามารถใช้การคำนวณแบบย่อหน้าของ Holt-Winters เพื่อคาดการณ์ในระยะสั้นได้ การคำนวณความลื่นของ Holt-Winters ประเมินระดับความลาดชันและองค์ประกอบตามฤดูกาล ณ จุดเวลาปัจจุบัน Smoothing ถูกควบคุมโดยพารามิเตอร์สามค่า ได้แก่ อัลฟาเบต้าและแกมมาสำหรับการประมาณระดับความชัน b ขององค์ประกอบแนวโน้มและองค์ประกอบตามฤดูกาลตามลำดับ ณ จุดเวลาปัจจุบัน พารามิเตอร์อัลฟาเบต้าและแกมมาทั้งหมดมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 และค่าที่ใกล้เคียงกับ 0 หมายความว่าน้ำหนักที่น้อยมากจะถูกวางไว้บนข้อสังเกตล่าสุดเมื่อทำการคาดการณ์ค่าในอนาคต ตัวอย่างของชุดเวลาที่สามารถอธิบายได้โดยใช้แบบจำลองเพิ่มเติมซึ่งมีแนวโน้มและฤดูกาลเป็นชุดข้อมูลบันทึกการขายประจำเดือนสำหรับร้านขายของที่ระลึกในเมืองริมหาดในรัฐควีนส์แลนด์ออสเตรเลีย (กล่าวไว้ข้างต้น) เพื่อให้ เราสามารถใส่รูปแบบการคาดการณ์ได้โดยใช้ฟังก์ชัน HoltWinters () ตัวอย่างเช่นเพื่อให้พอดีกับรูปแบบการคาดการณ์สำหรับบันทึกการขายรายเดือนในร้านขายของที่ระลึกเราจะพิมพ์: ค่าประมาณของ alpha, beta และ gamma เท่ากับ 0.41, 0.00 และ 0.96 ตามลำดับ ค่าอัลฟ่า (0.41) ค่อนข้างต่ำบ่งชี้ว่าการประมาณระดับในจุดเวลาปัจจุบันขึ้นอยู่กับการสังเกตล่าสุดและข้อสังเกตบางอย่างในอดีตอันไกลโพ้น ค่าของเบต้าคือ 0.00 แสดงให้เห็นว่าค่าประมาณความลาดชัน b ขององค์ประกอบแนวโน้มจะไม่ได้รับการปรับปรุงตามช่วงเวลาและแทนค่าเท่ากับค่าเริ่มต้น นี่เป็นความรู้สึกที่ใช้งานได้ง่ายเนื่องจากระดับการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาไม่น้อย แต่ช่วงความลาดชัน b ขององค์ประกอบแนวโน้มจะยังคงอยู่ในเกณฑ์เดียวกัน ในทางตรงกันข้ามค่าของแกมมา (0.96) สูงซึ่งบ่งชี้ว่าการประมาณองค์ประกอบตามฤดูกาล ณ จุดเวลาปัจจุบันขึ้นอยู่กับการสังเกตล่าสุด สำหรับการเรียบแบบเรียบง่ายและการเรียบแบบเลขยกกำลัง Holt8217s เราสามารถวางแผนชุดเวลาเดิมเป็นเส้นสีดำโดยมีค่าที่คาดการณ์ไว้เป็นเส้นสีแดงที่ด้านบนของที่: เราเห็นได้จากพล็อตว่าวิธีการแบบเมท็อดแบบโฮลท์ - วินเทอร์สประสบความสำเร็จมาก ในการคาดการณ์ยอดเขาตามฤดูกาลซึ่งเกิดขึ้นประมาณเดือนพฤศจิกายนของทุกปี หากต้องการคาดการณ์เวลาในอนาคตที่ไม่รวมอยู่ในชุดเวลาเดิมเราจะใช้ 8220forecast. HoltWinters () 8221 ฟังก์ชันในแพคเกจ 8220forecast8221 ตัวอย่างเช่นข้อมูลเดิมสำหรับการขายของที่ระลึกคือตั้งแต่เดือนมกราคม 2530 ถึงเดือนธันวาคม 2536 หากเราต้องการคาดการณ์ในช่วงมกราคม 2537 ถึงธันวาคม 2541 (48 เดือนขึ้นไป) และคาดการณ์การคาดการณ์เราจะพิมพ์: การคาดการณ์จะแสดงเป็น เส้นสีน้ำเงินและพื้นที่สีเทาสีส้มและสีเหลืองแสดงช่วงเวลาคาดการณ์ 80 และ 95 ตามลำดับ เราสามารถตรวจสอบได้ว่าจะสามารถปรับปรุงรูปแบบการคาดการณ์ได้หรือไม่โดยการตรวจสอบว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่างแสดงการเชื่อมโยงกันที่ไม่เป็นศูนย์ที่ล่าช้า 1-20 โดยทำ correlogram และดำเนินการทดสอบ Ljung-Box: correlogram แสดงให้เห็นว่าการเชื่อมโยงกันด้วยตนเอง (autocorrelations) สำหรับข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ในตัวอย่างจะต้องไม่เกินความสำคัญสำหรับความล่าช้า 1-20 นอกจากนี้ค่า p สำหรับการทดสอบ Ljung-Box เท่ากับ 0.6 ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีหลักฐานเกี่ยวกับการเชื่อมโยงกันที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มีการล่าช้า 1-20 เราสามารถตรวจสอบว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์มีความแปรปรวนคงที่ตลอดเวลาและมีการแจกแจงแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ยศูนย์โดยการทำพล็อตเวลาของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์และฮิสโตแกรม (มีการวางทับตามปกติ): จากพล็อตเวลา ข้อผิดพลาดในการคาดการณ์มีความแปรปรวนคงที่ตลอดช่วงเวลา จากฮิสโตแกรมของข้อผิดพลาดในการคาดการณ์ดูเหมือนว่าน่าจะเป็นไปได้ว่าข้อผิดพลาดในการคาดการณ์มีการกระจายตามปกติโดยมีค่าเฉลี่ยศูนย์ Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assum e that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk